§ 6. Формула полной вероятности и
формула Байеса
Определение 6.1. Последовательность событий Н1, Н2, Н3,
..., Нn образует полную группу попарно несовместных событий,
если выполнены следующие условия:
1) 
,
2)
Нi Ç Нj = Æ, если i ¹ j,
i,j = 1,2,3, ..., n.
Теорема 6.1. Если H1, ..., Hi, ..., Hn -
полная группа попарно несовместных событий и Р( Hi )>0, ( i=1, ..., n ), то для
любого события АÎÁ
, имеет место равенство (формула полной
вероятности):
. (6.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Событие А, используя равенство А Ç ( В È С) = (А Ç В) È (АÇ С), можно записать в виде
А = АÇW =
АÇ(
) = 
.
Поскольку события Н1,
Н2, Н3, ..., Нn попарно несовместны, то такими
же будут и события АÇН1,
АÇН2,
АÇН3,
..., АÇНn
. В силу аксиомы 
имеем
равенство
Р( А )
= Р{
} = 
.
Теперь применим теорему умножения к каждому слагаемому последней суммы:
Р( А ) = .= 
.¨
З а м е ч а н и е. Формула (6.1) справедлива для счетного набора событий,
удовлетворяющих условиям 1),2) из определения 6.1.
Пример 3.6. Три завода поставляют в магазин электролампы. Первый поставляет 45%, второй - 40% и третий - 15% общего количества продаваемых ламп. Продукция первого завода содержит 10% брака, второго - 12% и третьего - 5% брака. Какова вероятность купить в магазине годную лампу?
Р е ш е н и е.
Пусть А - событие “лампа, купленная в магазине, годна к употреблению”, Нi - событие “ лампа изготовлена на iм заводе” ( i = 1,2,3).
( Hi иногда называют гипотезами ).
По условию задачи имеем:
Р(H1) = 45/100 = 0.45; Р(H2) = 40/100 = 0.40; Р(H3) = 15/100 = 0.15;
Р( А/H1 ) = 1 - 10/100 = 0.9; Р( А/H2 ) = 1 - 12/100 = 0.88;
Р( А/H3 ) = 1 - 5/100 = 0.95.
Поскольку гипотезы образуют полную группу попарно несовместных событий, то Р(H1) + Р(H2) + Р(H3) = 1.
Используя формулу полной вероятности, получаем
Р( А ) = Р(H1)× Р(А/H1) + Р(H2)× Р(А/H2) + Р(H3) Р(А/H3) =
= 0.45 x 0.9 + 0.4 x 0.88 + 0.15 x 0.95 = 0.8995. u
Теорема
6.2. ( Формулы Байеса).
Пусть набор Hi Î Á
образуют полную группу попарно несовместных
событий, причем Р( Hi )>0 для каждого ( i = 1, ..., n ). Тогда для каждого
случайного события, такого что Р( А ) > 0, выполнены равенства:
(6.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Воспользуемся теоремой умножения 4.1 по формуле (4.2) имеем
Р( Hi Ç А ) = Р( Hi ) . Р( А/Hi ) = Р( А) . Р( Hi/А ) , откуда
получаем
,
где (формула
полной вероятности).
Для завершения доказательства остается заменить знаменатель в предыдущей формуле.¨
З а м е ч а н и е. Рассмотрим общую схему применения формул Байеса при решении
практических задач. Пусть событие А Î Á может происходить
в различных условиях, о характере которых можно сделать n гипотез H1,
..., Hi, ..., Hn . Из каких-то соображений известны
вероятности этих гипотез Р(Hi ) - ( априорные вероятности ). Предположим, что
произведен опыт, в результате которого наступило событие А. Это должно вызвать
переоценку вероятностей гипотез Hi , (i=1¸ n ); формулы Байеса и дают
выражение для условных вероятностей Р( Hi / А ) - ( апостериорные вероятности
).
Пример 3.6. Пусть в урне пять шаров; предположения о количестве белых шаров равновозможные. Из урны наудачу взят шар, он оказался белым. Какое предположение о начальном составе урны наиболее вероятно?
Р е ш е н и е.
Пусть Hi - гипотеза, состоящая в том, что в урне i белых шаров ( i = 0,1, ...,5), т.е. возможно сделать шесть предположений. Тогда по условию задачи имеем Р(H0) = Р(H1) = ... = Р(H5) = 1/6.
Введем событие А - { наудачу взятый шар белый }. Вычислим Р(Hi /А). Так как Р(А/Hi ) = i/5, то по формуле (6.2) имеем
.
Таким образом, наиболее вероятной является гипотеза H5
т.к. Р(H5/А) = 1/3.u